تبلیغات
طوفان سرا - بازی ریاضی - معما و سرگرمی - حدس گلدباخ
حدس گلدباخ

حدس گلدباخ : «هر عدد زوج بزرگتر از 2 قابل تجزیه بصورت مجموع دو عدد اول است».

مثال: 20=17+3                  48=11+37               ...

 

حدس گلد‌باخ حدود 5/2 قرن پیش به جهان ریاضیات عرضه گردید. كریستین گلدباخ مورخ آكادمی علوم سن‌ پطرزبورگ و معلم ریاضی تزار (پطر دوم) و فرزندان تزار بود. در سال 1742 میلادی، گلدباخ طی نامه‌ای به لئونارد اولر ریاضیدان نامدار سوئیسی این فرضیه را پایه‌ریزی كرد و عنوان نمود كه من به یك مساله ریشه‌ای و پایه‌ای رسیده‌ام كه با مثال‌های زیادی آزمایش كرده‌ام، ولی قادر به اثبات آن نیستم. اولر نیز سالها برای حل و اثبات آن كوشید ولی

 توفیقی حاصل نكرد. از آنجا كه صورت مساله ظاهراً ساده و ضمناً یك مساله پایه‌ای بود و با اثبات شدن آن ، نتایج و به اصطلاح شاخ و برگ‌های زیادی از آن می‌رویید، به این فرضیه اهمیت ویژه‌ای بخشید. لذا دانشمندان بسیار زیادی در طول این حدوداً 250 سال برای اثبات این فرضیه كوشیدند، ولی فرضیه همچنان لاینحل باقی ماند. دانشمندان و ریاضیدانان بزرگی چون اولر، گاوس، لژاندر، دیریكله، ددكیند، كانتور و هزاران هزار ریاضیدان در طول این قرون، در مبارزه با آن ناكام ماندند. در قرن بیستم، در سال 1923 دو ریاضیدان بنام‌های هاردی Hardy و لیتل وود Little wood كه بطور مشترك سالها بر روی این فرضیه كار كرده بودند، به حل مساله نزدیك شدند وتوانستند مساله‌ای دیگر را كه كمی نزدیك به این فرضیه بود ارائه نمایند. اما فرضیه گولدباخ همچنان لاینحل باقی ماند. در سال 1996 ریاضیدان و دانشمندی چینی به نام چن جین رن Chen Jin Ran قدم خوبی برای نزدیك شدن به مساله برداشت و ثابت كرد كه عدد زوج به اندازه كافی بزرگ را می‌توان بصورت مجموع یك عدد اول و یك عدد دیگری نوشت كه دومین عدد حداكثر دو عامل اول دارد. اما فرضیه اصلی همچنان لاینحل باقی ماند.

حدس اولیه گلدباخ ابتدا در ۷ ژوئن ۱۷۴۲ نامه او به اویلر اینگونه بیان شد:”به نظر می رسد هر عدد بزرگتر از ۲ را می توان به صورت جمع سه عدد نوشت.”
باید متذکر شد که در این جمله گلدباخ یک را عدد اول فرض نمود. اویلر شرح دیگری از حدس را بیان کرد که در واقع معادل با حدس اولیه بود. او ادعا نمود هر عدد زوج بزرگتر از ۴ را می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت.
دو عدد اول (P,q) که P+q=2n و n عددی صحیح و مثبت باشد را معمولا افراز گلدباخ می نامند. در سال ۱۹۷۷ پوگوزلسکی مدعی اثبات حدس گلدباخ شد اما اثبات او به طور کلی پذیرفته نشد.
همچنین حدس “هر عدد فرد بزرگتر از ۹ جمع سه عدد اول فرد است” را حدس ضعیف گلدباخ می نامند. وینوگرادف ثابت کرد هر عدد فرد به اندازه کافی بزرگ جمع سه عدد اول است.

در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و  شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر  300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.

بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.

در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد. در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.

در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است. کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.

در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر  عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.

در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است). در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.

در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.

در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.

در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.



برچسب ها : حدس گلد‌باخ ،